przestrzeń liniowa – Illiano.pl

1.2 Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe Quiz Standardowy

Quiz Zaawansowany: Przestrzeń Liniowa i Operacje na Wektorach

Przemienność dodawania: Wykaż, że przestrzeń wektorów spełnia warunek przemienności dodawania. Pokaż na przykładzie dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $ i $ \mathbf{v} $, że $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $.
Łączność dodawania: Udowodnij, że dodawanie wektorów jest łączne. Dla dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ i $ \mathbf{w} $, pokaż, że $ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $.
Wektor zerowy: Zdefiniuj wektor zerowy w przestrzeni liniowej. W jaki sposób wektor zerowy wpływa na dodawanie wektorów? Czy istnieje więcej niż jeden wektor zerowy w przestrzeni liniowej?
Wektor przeciwny: Podaj definicję wektora przeciwnego i udowodnij, że dodanie wektora przeciwnego prowadzi do wektora zerowego. Użyj przykładów i formalnego zapisu matematycznego.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów: Udowodnij, że dla dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $ i $ \mathbf{v} $ oraz skalara $ a $, zachodzi $ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} $.
Rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów: Wykaż, że dla dowolnych skalarów $ a $, $ b $ i wektora $ \mathbf{v} $, zachodzi $ (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} $.
Jednostkowy skalar: Pokaż, że wektor pozostaje niezmieniony, gdy pomnożysz go przez skalar $1$. Użyj formalnego dowodu.
Mnożenie przez zero: Udowodnij, że mnożenie wektora przez skalar $0$ daje wektor zerowy. W jaki sposób można to formalnie zapisać?

1.1 Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe Quiz Podstawowy

Quiz Podstawowy: Aksjomaty Przestrzeni Liniowej i Operacje na Wektorach

Przemienność dodawania: Czy dla dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $ i $ \mathbf{v} $ zachodzi $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $?
Łączność dodawania: Czy dla dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ i $ \mathbf{w} $ zachodzi $ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $?
Istnienie wektora zerowego: Jak wygląda wektor zerowy $ \mathbf{0} $, i co się dzieje, gdy dodasz go do dowolnego wektora $ \mathbf{v} $?
Istnienie wektora przeciwnego: Co się dzieje, gdy dodasz do wektora $ \mathbf{v} $ jego przeciwny wektor $ -\mathbf{v} $?
Rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów: Czy $ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} $ dla dowolnych wektorów $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ i skalara $ a $?
Rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów: Czy $ (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} $ dla dowolnych skalarów $ a $, $ b $ i wektora $ \mathbf{v} $?
Jednostkowy skalar: Co się dzieje, gdy pomnożysz wektor $ \mathbf{v} $ przez skalar $1$?
Mnożenie wektora przez zero: Co się dzieje, gdy pomnożysz wektor $ \mathbf{v} $ przez skalar $0$?

1.0 Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe

wektory

Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe

Wektory to podstawowe elementy matematyki, które są nieodzowne w wielu dziedzinach nauki. W przestrzeniach liniowych możemy wykonywać operacje takie jak dodawanie wektorów oraz ich skalowanie (za pomocą skalara – liczby), co pozwala na bardziej zaawansowane przekształcenia.

Definicja wektora:

Wektor to uporządkowana lista liczb, która reprezentuje zarówno kierunek, jak i wielkość. Na przykład, wektor $$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$ w przestrzeni dwuwymiarowej ma składową 3 jednostki wzdłuż osi x oraz 4 jednostki wzdłuż osi y. Co istotne, wektory są przenośne, więc można umieszczać je w dowolnym miejscu w układzie współrzędnych, ponieważ nadal zachowują ten sam kierunek i wielkość.

Operacje na wektorach:

Dodawanie wektorów: Aby dodać dwa wektory, dodajemy ich odpowiednie współrzędne.
Przykład: $$ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Ich suma to: $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Mnożenie przez skalar: Aby pomnożyć wektor przez skalar (liczbę), mnożymy każdą współrzędną wektora przez tę liczbę.
Przykład: Dla skalara $$ 2 $$ i wektora $$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$, mamy: $$ 2 \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Długość wektora:

Długość wektora to jego „wartość” w przestrzeni. Oblicza się ją za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Dla wektora $$ \mathbf{v} = (x, y) $$, jego długość $$ \|\mathbf{v}\| $$ to:

$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Na przykład, dla wektora $$ \mathbf{v} = (3, 4) $$, jego długość to:

$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Przestrzeń liniowa – definicja:

Przestrzeń liniowa (wektorowa) to zbiór wektorów, w którym można wykonywać operacje dodawania wektorów oraz ich mnożenia przez skalar. Aby zbiór mógł być uznany za przestrzeń liniową, muszą być spełnione pewne warunki (aksjomaty).

Przemienność dodawania: $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $$
Łączność dodawania: $$ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $$
Istnienie wektora zerowego: Istnieje wektor $$ \mathbf{0} $$, taki że $$ \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} $$
Istnienie wektora przeciwnego: Dla każdego wektora $$ \mathbf{v} $$ istnieje $$ -\mathbf{v} $$, takie że $$ \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} $$
Rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów: $$ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} $$
Rozdzielność mnożenia względem skalara: $$ (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} $$
Jednostkowy skalar: $$ 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} $$
Mnożenie przez zero: $$ 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0} $$