1.0 Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe

Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe

Wektory to podstawowe elementy matematyki, które są nieodzowne w wielu dziedzinach nauki. W przestrzeniach liniowych możemy wykonywać operacje takie jak dodawanie wektorów oraz ich skalowanie (za pomocą skalara – liczby), co pozwala na bardziej zaawansowane przekształcenia.

Definicja wektora:

Wektor to uporządkowana lista liczb, która reprezentuje zarówno kierunek, jak i wielkość. Na przykład, wektor $$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$ w przestrzeni dwuwymiarowej ma składową 3 jednostki wzdłuż osi x oraz 4 jednostki wzdłuż osi y. Co istotne, wektory są przenośne, więc można umieszczać je w dowolnym miejscu w układzie współrzędnych, ponieważ nadal zachowują ten sam kierunek i wielkość.

Operacje na wektorach:

1. Dodawanie wektorów: Aby dodać dwa wektory, dodajemy ich odpowiednie współrzędne.

   Przykład: $$ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

   Ich suma to: $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$

2. Mnożenie przez skalar: Aby pomnożyć wektor przez skalar (liczbę), mnożymy każdą współrzędną wektora przez tę liczbę.

   Przykład: Dla skalara $$ 2 $$ i wektora $$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$, mamy: $$ 2 \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Długość wektora:

Długość wektora to jego „wartość” w przestrzeni. Oblicza się ją za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Dla wektora $$ \mathbf{v} = (x, y) $$, jego długość $$ \|\mathbf{v}\| $$ to:

$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Na przykład, dla wektora $$ \mathbf{v} = (3, 4) $$, jego długość to:

$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Przestrzeń liniowa – definicja:

Przestrzeń liniowa (wektorowa) to zbiór wektorów, w którym można wykonywać operacje dodawania wektorów oraz ich mnożenia przez skalar. Aby zbiór mógł być uznany za przestrzeń liniową, muszą być spełnione pewne warunki (aksjomaty).

1. Przemienność dodawania: $$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $$
2. Łączność dodawania: $$ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $$
3. Istnienie wektora zerowego: Istnieje wektor $$ \mathbf{0} $$, taki że $$ \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} $$
4. Istnienie wektora przeciwnego: Dla każdego wektora $$ \mathbf{v} $$ istnieje $$ -\mathbf{v} $$, takie że $$ \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} $$
5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów: $$ a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} $$
6. Rozdzielność mnożenia względem skalara: $$ (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} $$
7. Jednostkowy skalar: $$ 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} $$
8. Mnożenie przez zero: $$ 0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0} $$