1.2 Przestrzeń Liniowa – Wektory i Operacje Podstawowe Quiz Standardowy

Quiz Zaawansowany: Przestrzeń Liniowa i Operacje na Wektorach

1. Przemienność dodawania: Wykaż, że przestrzeń wektorów spełnia warunek przemienności dodawania. Pokaż na przykładzie dowolnych wektorów \( \mathbf{u} \) i \( \mathbf{v} \), że \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \).
2. Łączność dodawania: Udowodnij, że dodawanie wektorów jest łączne. Dla dowolnych wektorów \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) i \( \mathbf{w} \), pokaż, że \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \).
3. Wektor zerowy: Zdefiniuj wektor zerowy w przestrzeni liniowej. W jaki sposób wektor zerowy wpływa na dodawanie wektorów? Czy istnieje więcej niż jeden wektor zerowy w przestrzeni liniowej?
4. Wektor przeciwny: Podaj definicję wektora przeciwnego i udowodnij, że dodanie wektora przeciwnego prowadzi do wektora zerowego. Użyj przykładów i formalnego zapisu matematycznego.
5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania wektorów: Udowodnij, że dla dowolnych wektorów \( \mathbf{u} \) i \( \mathbf{v} \) oraz skalara \( a \), zachodzi \( a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} \).
6. Rozdzielność mnożenia względem dodawania skalarów: Wykaż, że dla dowolnych skalarów \( a \), \( b \) i wektora \( \mathbf{v} \), zachodzi \( (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} \).
7. Jednostkowy skalar: Pokaż, że wektor pozostaje niezmieniony, gdy pomnożysz go przez skalar \(1\). Użyj formalnego dowodu.
8. Mnożenie przez zero: Udowodnij, że mnożenie wektora przez skalar \(0\) daje wektor zerowy. W jaki sposób można to formalnie zapisać?